Les travaux présentés dans cette rubrique concernent principalement les représentations galoisiennes (potentiellement) semi-stables, entières et de torsion : j'obtiens, à leur sujet, des théorèmes de classification, j'en étudie diverses propriétés de ramification et m'intéresse à leurs espaces de déformations. L'outil principal que j'utilise est la théorie des modules de Breuil–Kisin.

	X. Caruso, Q. Gazda Computation of classical and $v$-adic $L$-series of $t$-motives prépublication (2024), 20 pages We design an algorithm for computing the $L$-series associated to an Anderson $t$-motives, exhibiting quasilinear complexity with respect to the target precision. Based on experiments, we conjecture that the order of vanishing at $T=1$ of the $v$-adic $L$-series of a given Anderson $t$-motive with good reduction does not depend on the finite place $v$.
	X. Caruso, A. David, A. Mézard Can we dream of a $1$-adic Langlands correspondence? à paraître dans LNM Festschrift in honour of Catriona Byrne, 19 pages After observing that some constructions and results in the $p$-adic Langlands programme are somehow independent from $p$, we formulate the hypothesis that this astonishing uniformity could be explained by a $1$-adic Langlands correspondence.
	X. Caruso, A. David, A. Mézard Combinatorics of Serre weights in the potentially Barsotti–Tate setting Moscow Journal of Combinatorics and Number Theory 12 (2023), 1–56 Let $F$ be a finite unramified extension of $\mathbb Q_p$ and $\bar\rho$ be an absolutely irreducible mod $p$ $2$-dimensional representation of the absolute Galois group of $F$. Let $t$ be a tame inertial type of $F$. We conjecture that the deformation space parametrizing the potentially Barsotti--Tate liftings of $\bar\rho$ having type $t$ depends only on the Kisin variety attached to the situation, enriched with its canonical embedding into $(\mathbb P^1)^f$ and its shape stratification. We give evidences towards this conjecture by proving that the Kisin variety determines the cardinality of the set of common Serre weights $\mathcal D(t,\bar\rho) = \mathcal D(t) \cap \mathcal D(\bar\rho)$. Besides, we prove that this dependance is nondecreasing (the smaller is the Kisin variety, the smaller is the number of common Serre weights) and compatible with products (if the Kisin variety splits as a product, so does the number of weights).
	X. Caruso An introduction to $p$-adic period rings Panoramas et Synthèses 54 (2019), 19–92 This paper is the augmented notes of a course I gave jointly with Laurent Berger in Rennes in 2014. Its aim was to introduce the periods rings $B_{\text{crys}}$ and $B_{\text{dR}}$ and state several comparison theorems between étale and crystalline or de Rham cohomologies for $p$-adic varieties.

	X. Caruso, A. David, A. Mézard Variétés de Kisin stratifiées et déformations potentiellement Barsotti–Tate J. Inst. Math. Jussieu (2016), https://doi.org/10.1017/S1474748016000232 Soient $F$ une extension finie non ramifiée de $\mathbb Q_p$ et $\bar\rho$ une représentation modulo $p$ irréductible de dimension $2$ du groupe de Galois absolu de $F$. L'objet de ce travail est la détermination de la variété de Kisin qui paramètre les modules de Breuil–Kisin associés à certaines familles de déformations potentiellement Barsotti–Tate de $\bar\rho$. Nous démontrons que cette variété est une réunion finie de produits de $\mathbb P^1$ qui s'identifie à une sous-variété explicite connexe de $(\mathbb P^1)^{[F:\mathbb Q_p]}$. Nous définissons une stratification de la variété de Kisin en sous-schémas localement fermés et expliquons enfin comment la variété de Kisin ainsi stratifiée peut aider à déterminer l'anneau des déformations potentiellement Barsotti–Tate de $\bar\rho$.
	X. Caruso, A. David, A. Mézard Un calcul d'anneaux de déformations potentiellement Barsotti–Tate Trans. AMS 370 (2018), 6041–6096 Soit $F$ une extension non ramifiée de $\mathbb Q_p$ incluse dans une clôture algébrique $\bar{\mathbb Q}_p$ de $\mathbb Q_p$ fixée. Le premier objectif de ce travail est de présenter une méthode purement locale pour calculer les anneaux de déformations potentiellement Barsotti–Tate de type galoisien modéré de niveau $[F : \mathbb Q_p] $ des représentations irréductibles de dimension $2$ de $\text{Gal}(\bar{\mathbb Q}_p /F)$. Nous appliquons ensuite cette méthode dans le cas particulier où $F$ est de degré $2$ sur $\mathbb Q_p$, ce qui nous conduit, dans ce cas, à la détermination presque exhaustive de ces anneaux de déformations. Notre approche met en évidence un lien, apparemment ténu, entre la structure de ces anneaux de déformations et la géométrie de la variété de Kisin correspondante. En guise de corollaire, nous vérifions, toujours dans le cas où $F$ est de degré $2$ sur $\mathbb Q_p$ et à l'exception de deux cas très particuliers, une conjecture de Kisin qui prédit que les multiplicités galoisiennes intrinsèques valent toutes $0$ ou $1$.
	X. Caruso Estimation des dimensions de certaines variétés de Kisin J. reine angew. Math. 723 (2017), 1–77 Dans cet article, nous nous intéressons aux dimensions de certaines variétés qui ont été introduites récemment par Kisin pour démontrer la modularité de certaines représentations galoisiennes. Nous étudions plus spécialement un cas particulier pour lequel nous donnons une estimation de la dimension en question, puis, en nous basant sur ce résultat, nous énonçons une conjecture dans le cas général.
	X. Caruso, D. Lubicz Semi-simplifiée modulo $p$ des représentations semi-stables : une approche algorithmique prépublication (2013), 35 pages Le but de cet article est de présenter un algorithme de complexité polynômiale pour calculer la semi-simplifiée modulo $p$ d'une $\mathbb Q_p$-représentation semi-stable du groupe de Galois absolu d'un corps $p$-adique (i.e. une extension finie de $\mathbb Q_p$). Pour ce faire, nous utilisons abondamment la théorie de Hodge $p$-adique et, en particulier, la théorie des modules de Breuil–Kisin.
	X. Caruso Représentations galoisiennes $p$-adiques et $(\varphi,\tau)$-modules Duke Math. J. 162 (2013), 2525–2607 Étant donné un nombre premier impair $p$ et un corps $p$-adique $K$, on développe dans cet article, un analogue de la théorie des $(\varphi,\Gamma)$-modules de Fontaine en remplaçant la $p$-extension cyclotomique par l'extension $K_\infty$ de $K$ obtenue en ajoutant un système compatible de racines $p^n$-ièmes d'une uniformisante $\pi$ fixée. Ceci nous conduit à une nouvelle classification des représentations $p$-adiques de $G_K = \text{Gal}(\bar K/K)$ via des $(\varphi,\tau)$-modules. Nous établissons ensuite un lien entre la théorie des $(\varphi,\tau)$-modules à celle des $(\varphi,N_\nabla)$-modules de Kisin. Comme corollaire, nous répondons à une question de Tong Liu en démontrant que, lorsque $K$ est une extension finie de $\mathbb Q_p$, toute représentation de $E(u)$-hauteur finie de $G_K$ est potentiellement semi-stable.
	X. Caruso $\mathbb F_p$-représentations semi-stables Ann. Inst. Fourier 61 (2011), 1683–1747 Soient $p$ un nombre premier et $K$ un corps $p$-adique à corps résiduel parfait (par exemple une extension finie de $\mathbb Q_p$) dont l'indice de ramification absolue est noté $e$. Afin d'étudier les représentations semi-stables de $p$-torsion de $G_K = \text{Gal}(\bar K/K)$, Breuil a défini pour tout entier positif $r
	X. Caruso, T. Liu Some bounds for ramification of $p^n$-torsion semi-stable representations J. of Algebra 325 (2011), 70–96 Soient $p$ un nombre premier impair, $K$ une extension finie de $\mathbb Q_p$, $G_K = \text{Gal}(\bar K/K)$ son groupe de Galois absolu et $e$ son indice de ramification absolue. Supposons que $T$ soit une représentation de $G_K$ annulée par $p^n$ qui est isomorphe au quotient de deux réseaux dans une représentation semi-stable à poids de Hodge–Tate compris entre $0$ et $r$. Nous démontrons qu'il existe une constante $\mu$ qui dépend uniquement de $n$, $e$ et $r$ telle que le groupe de ramification supérieure $G_K^{(\mu)}$ agisse trivialement sur $T$.
	X. Caruso Classification of integral models of $(\mathbb Z/p\mathbb Z)_K$ via Breuil–Kisin theory J. of Algebra 323 (2010), 1955–1957
	X. Caruso, D. Savitt Poids de l'inertie modérée de certaines représentations cristallines J. Théor. Nombres Bordeaux 22 (2010), 79–96 Le but de cette note est de donner une démonstration complète du théorème 4.1 de mon autre article avec D. Savitt (voir ci-dessous) qui a pour objet d'expliciter l'action de l'inertie modérée sur la semi-simplifiée modulo $p$ d'une certaine famille (assez restreinte) de représentations cristallines $V$ du groupe de Galois absolu d'un corps $p$-adique $K$. Lorsque $K$ n'est pas absolument ramifié, le calcul de cette action a déjà été accompli par Fontaine et Laffaille qui ont montré qu'elle est entièrement déterminée par les poids de Hodge–Tate de $V$, au moins si ceux-ci appartiennent à un même intervalle d'amplitude $p-2$. Les exemples que l'on calcule dans cet article montrent en particulier que le résultat simple de Fontaine et Laffaille ne s'étend pas au cas absolument ramifié.
	X. Caruso Sur la classification de quelques $\varphi$-modules simples Mosc. Math. J. 9 (2009), 562–568
	X. Caruso, T. Liu Quasi-semi-stable representations Bull. Soc. Math. France 137 (2009), 185–223 Soient $K$ un corps $p$-adique et $G_K$ son groupe de Galois absolu. Soit $K_\infty$ l'extension de $K$ obtenue en ajoutant les racines $p^n$-ièmes d'une uniformisante fixée. Notons $G_\infty \subset G_K$ le groupe de Galois absolu de $K_\infty$. Dans cet article, on définit une classe de représentations $p$-adiques de torsion du groupe $G_\infty$, que l'on appelle \emph{quasi-semi-stables}. Nous montrons que ces représentations sont explicitement décrites \emph{via} une certaine catégories d'objets d'algèbre linéaire. Les résultats dans cette note doivent être considérés comme une première étape dans l'étude de la structure des représentations qui apparaissent comme quotients de deux réseaux d'une représentation galoisienne cristalline (resp. semi-stable).
	X. Caruso, D. Savitt Polygones de Hodge, de Newton et de l'inertie modérée des représentations semi-stables Math. Ann. 343 (2009), 777–789 Nous définissons le polynôme de l'inertie modérée d'une représentation semi-stable et étudions sa position vis-à-vis des polynômes de Hodge et de Newton.
	X. Caruso Conjecture de l'inertie modérée de Serre Invent. Math. 171 (2008), 629–699 On considère $K$ un corps complet pour une valuation discrète, de caractéristique nulle et dont le corps résiduel est supposé parfait de caractéristique $p$. On appelle $\mathcal O_K$ l'anneau des entiers de $K$, et $\bar K$ une clôture algébrique. Soit $X_K$ un schéma propre et lisse sur $K$ admettant un modèle propre et semi-stable $X$ sur $\mathcal O_K$. Dans cet article, on démontre un isomorphisme de périodes reliant le $r$-ième groupe de cohomologie étale de $X_{\bar K}$ à coefficients dans $\mathbb Z/p^n\mathbb Z$ et un $r$-ième groupe de cohomologie log-cristalline de la fibre spéciale de $X$. Nous avons toutefois la restriction $er < p-1$ (et une restriction légèrement plus forte si $n>1$) où $e$ désigne l'indice de ramification absolu de $K$. On en déduit une preuve complète de la conjecture de Serre sur l'inertie modérée.
	X. Caruso Représentations semi-stables de torsion dans le cas $er < p-1$ J. reine angew. Math. 594 (2006), 35–92 Soit $K$ un corps local de caractéristique mixte non absolument ramifié. La théorie de Fontaine-Laffaille permet de décrire les $\mathbb Z_p$-représentations galoisiennes cristallines entières de torsion ($p$ désigne la caractéristique du corps résiduel). Poursuivant les précédents travaux, Breuil a introduit de nouveaux modules et a obtenu une théorie entière et de torsion pour les représentations semi-stables. Dans cet article, nous reprenons les travaux de Breuil et les adaptons dans le cas où le corps local $K$ peut être absolument ramifié. Nous avons toutefois une contrainte sur l'indice de ramification absolu.