Xavier Caruso
Directeur de recherche en mathématiques au CNRS
Probabilités

En tant que groupe topologique compact, l'ensemble des entiers $p$-adiques hérite d'une mesure de probabilité : la mesure de Haar. De nombreuses questions de probabilité qui sont classiques dans le cadre des nombres réels trouvent ainsi un analogue dans le contexte $p$-adique ; il en va ainsi par exemple de l'étude des matrices ou des polynômes aléatoires. Les travaux présentés dans cette rubrique abordent ces questions.

X. Caruso
Where are the zeroes of a random $p$-adic polynomial?
prépublication (2021), 43 pages

We study the repartition of the roots of a random $p$-adic polynomial in an algebraic closure of $\mathbb Q_p$. We prove that the mean number of roots generating a fixed finite extension $K$ of $\mathbb Q_p$ depends mostly on the discriminant of $K$, an extension containing less roots when it gets more ramified. We prove further that, for any positive integer$r$, a random $p$-adic polynomial of sufficiently large degree has about$r$ roots on average in extensions of degree at most $r$.
Beyond the mean, we also study higher moments and correlations between the number of roots in two given subsets of $\mathbb Q_p$ (or, more generally, of a finite extension of $\mathbb Q_p$). In this perspective, we notably establish results highlighting that the roots tend to repel each other and quantify this phenomenon.
X. Caruso
Almost all non-archimedean Kakeya sets have measure zero
Confluentes Math. 10 (2018), 3–40

Nous étudions les ensembles de Kakeya sur les corps locaux non-archimédiens avec un point de vue probabiliste: nous définissons une mesure de probabilité sur l'ensemble de ces ensembles de Kakeya et démontrons que presque tous les ensembles de Kakeya non-archimédiens ont une mesure de Haar nulle. Nous discutons également d'un analogue non-archimédien de la conjecture de Kakeya.
Illustrations : un ensemble de Kakeya 2-adique en dimension 2 et en dimension 3.
X. Caruso
Numerical stability of Euclidean algorithm over ultrametric fields
J. Number Theor. Bordeaux 29 (2017), 503–534

Entre autres choses, nous déterminons la loi de la valuation des sous-résultants de deux polynômes $p$-adiques aléatoires unitaires de même degré.
X. Caruso
Random matrices over a DVR and LU factorization
J. Symbolic Comput. 71 (2015), 98–123

Soient $R$ un anneau de valuation discrète et $K$ son corps des fractions. Si $M$ est une matrice à coefficients dans $R$ qui admet une factorisation LU, il peut arriver que les coefficients des facteurs $L$ et $U$ ne soient pas dans $R$ mais seulement dans $K$. Dans cet article, nous décrivons la loi de ces valuations et en déduisons des estimations sur leurs moyennes et leurs écarts type.

Dernière modification le 22 octobre 2021