Les résultats présentés dans cette rubrique concernent les polynômes de Ore qui sont une variante non commutative des polynômes classiques qui interviennent en algèbre semi-linéaire et en théorie des équations différentielles linéaires. Leurs propriétés de factorisation sont particulièrement intéressantes car elles correspondent à des énoncés de décomposition d'opérateurs semi-linéaires ou de modules à connexion. Je m'intéresse également à leurs applications en théorie des codes correcteurs d'erreurs.

	X. Caruso, F. Drain Selfdual skew cyclic codes prépublication (2024), 32 pages Given a finite extension $K/F$ of degree $r$ of a finite field $F$, we enumerate all selfdual skew cyclic codes in the Ore quotient ring $E_k := K[X;\text{Frob}]/(X^{rk}-1)$ for any positive integer $k$ coprime to the characteristic $p$ (separable case). We also provide an enumeration algorithm when $k$ is a power of $p$ (purely inseparable case), at the cost of some redundancies. Our approach is based on an explicit bijection between skew cyclic codes, on the one hand, and certain families of $F$-linear subspaces of some extensions of $K$. Finally, we report on an implementation in SageMath.
	E. Berardini, X. Caruso Reed–Muller codes in the sum-rank metric prépublication (2024), 28 pages We introduce the sum-rank metric analogue of Reed–Muller codes, which we called linearized Reed–Muller codes, using multivariate Ore polynomials. We study the parameters of these codes, compute their dimension and give a lower bound for their minimum distance. Our codes exhibit quite good parameters, respecting a similar bound to Reed–Muller codes in the Hamming metric. Finally, we also show that many of the newly introduced linearized Reed–Muller codes can be embedded in some linearized Algebraic Geometry codes, a property which could turn out to be useful in light of decoding.
	B. Adamczewski, A. Bostan, X. Caruso A sharper multivariate Christol's theorem with applications to diagonals and Hadamard products prépublication (2023), 32 pages We provide a new proof of the multivariate version of Christol's theorem about algebraic power series with coefficients in finite fields, as well as of its extension to perfect ground fields of positive characteristic obtained independently by Denef and Lipshitz, Sharif and Woodcok, and Harase. Our proof is elementary, effective, and allows for much sharper estimates. We discuss various applications of such estimates, in particular to a problem raised by Deligne concerning the algebraicity degree of reductions modulo $p$ of diagonals of multivariate algebraic power series with integer coefficients.

	A. Bostan, X. Caruso, J. Roques Algebraic solutions of linear differential equations: an arithmetic approach à paraître au Bull. Amer. Math. Soc., 52 pages Given a linear differential equation with coefficients in $\mathbb Q(x)$, an important question is to know whether its full space of solutions consists of algebraic functions, or at least if one of its specific solutions is algebraic. After presenting motivating examples coming from various branches of mathematics, we advertise in an elementary way a beautiful local-global arithmetic approach to these questions, initiated by Grothendieck in the late sixties. This approach has deep ramifications and leads to the still unsolved Grothendieck-Katz $p$-curvature conjecture.
	E. Berardini, X. Caruso Algebraic geometry codes in the sum-rank metric IEEE Transactions on Information Theory 70 (2024), 3345–3356 We introduce the first geometric construction of codes in the sum-rank metric, which we called linearized Algebraic Geometry codes, using quotients of the ring of Ore polynomials with coefficients in the function field of an algebraic curve. We study the parameters of these codes and give lower bounds for their dimension and minimum distance. Our codes exhibit quite good parameters, respecting a similar bound to Goppa's bound for Algebraic Geometry codes in the Hamming metric.
	X. Caruso, A. Durand Duals of linearized Reed-Solomon codes Designs, Codes and Cryptography 91 (2023), 241–271 We give a description of the duals of linearized Reed-Solomon codes in terms of codes obtained by taking residues of Ore rational functions. Our construction shows in particular that, under some assumptions on the base field, the class of linearized Reed-Solomon codes is stable under duality. As a byproduct of our work, we develop a theory of residues in the Ore setting, extending the results of the article below.
	X. Caruso A theory of residues for skew rational functions J. Éc. Polytechnique 8 (2021), 1159–1192 This paper constitutes a first attempt to do analysis with skew polynomials. Precisely, our main objective is to develop a theory of residues for skew rational functions (which are, by definition, the quotients of two skew polynomials). We prove in particular a skew analogue of the residue formula and a skew analogue of the classical formula of change of variables for residues. We then use our theory to define and study a linearized version of Goppa codes. We show that these codes meet the Singleton bound (for the sum-rank metric) and are the duals of the linearized Reed–Solomon codes defined recently by Martínez-Peñas. We also design efficient encoding and decoding algorithms for them.

X. Caruso Polynômes de Ore en une variable notes de cours (2017), version préliminaire, 92 pages Les polynômes de Ore sont une variante non commutative des polynômes classiques qui interviennent en algèbre semi-linéaire et dans l'étude des équations différentielles linéaires de la même manière que les polynômes usuels interviennent en algèbre linéaire (polynômes d'endomorphisme, polynômes caractéristiques, \emph{etc}.) En particulier, la factorisation des polynômes de Ore est liée de très près à la réduction des endomorphismes semi-linéaires et à celle des équations différentielles linéaires. Le but de ce cours est définir les polynômes de Ore, d'établir leurs principales propriétés arithmétiques et d'étudier leur factorisation. Nous mettons en place tout un arnesal théorique, centrée sur la notion d'algèbre d'Azumaya, qui permet, dans certains cas, d'obtenir des théorèmes de structure donnant des renseignements très précis sur la forme des factorisations des polynômes de Ore. Le cours est illustré de nombreux exemples.

	X. Caruso, J. Le Borgne Fast multiplication for skew polynomials proceedings de la conférence ISSAC 2017 Dans cet article, nous décrivons un algorithme pour la multiplication rapide des polynômes tordus dont la brique de base est un algorithme de multiplication rapide modulaire qui repose sur une stratégie d'évaluation-interpolation sur une base normale. Nos algorithmes améliorent les meilleures complexités connus pour ces problèmes et sont asymptotiquement quasi-optimaux pour les grands degrés. Nous présentons également une variante de notre algorithme pour la multiplication en petit degré et expliquons comment nos résultats permettent d'améliorer la complexité d'autres questions arithmétiques portant sur les polynômes tordus.
	A. Bostan, X. Caruso, É. Schost Computation of the similarity class of the $p$-curvature proceedings de la conférence ISSAC 2016 La $p$-courbure d'un système d'équations différentielles en caractéristique $p$ est une matrice qui mesure à quel point le système est loin d'avoir une matrice fondamentale de solutions polynomials. Nous démontrons que la classe de similitude de la $p$-courbure peut-être déterminée sans calculer la $p$-courbure elle-même. Plus précisément, nous concevons un algorithme qui calcul les invariants de similitude de la $p$-courbure en temps quasi-linéaire en $\sqrt p$. C'est nettement inférieur à la taille de la $p$-courbure, qui généralement croît de manière linéaire en $p$. Ce nouvel algorithme nous permet de répondre à une question qui apparaît dans l'étude du modèle d'Ising en physique statistique.
	A. Bostan, X. Caruso, É. Schost A fast algorithm for computing the $p$-curvature proceedings de la conférence ISSAC 2015 Nous présentons un algorithme pour calculer la $p$-courbure d'un système différentiel en caractéristique $p$. Pour un système de dimension $r$ dont les coefficients ont un degré au plus $d$, la complexité de notre algorithme est $\tilde O (p d r^\omega)$ opérations dans le corps de base (où $\omega$ désigne l'exposant de la multiplication) alors que la taille de la sortie est approximativement $p d r^2$. Notre algorithme est ainsi quasi-optimal si la multiplication matricielle l'est (i.e. si $\omega = 2$). Le principal ingrédient théorique que nous utilisons est l'existence d'un anneau de séries à puissances divisées sur lequel un analogue du théorème de Cauchy–Lipschitz vaut.
	A. Bostan, X. Caruso, É. Schost A fast algorithm for computing the characteristic polynomial of the $p$-curvature proceedings de la conférence ISSAC 2014 Nous abordons des questions théoriques et algorithmiques en lien avec la $p$-courbure des opérateurs différentiels en caractéristique $p$. Étant donné un tel opérateur $L$ dont le polynôme caractéristique de la $p$-courbure est noté $\chi(L)$, nous démontrons d'abord une formule donnant une description alternative de $\chi(L)$. Celle-ci se trouve être particulièrement adaptée pour un calcul rapide de $\chi(L)$ lorsque $p$ est grand: grâce à elle, nous concevons un nouvel algorithme pour le calcul de $\chi(L)$ dont le coût vis-à-vis de $p$ est $\tilde O(p^{0.5})$ opérations dans le corps de base. Ceci est remarquable car, avant ce travail, les algorithmes les plus rapides connus pour effectuer cette tâche, et même pour décider de la nilpotence de la $p$-courbure, avaient au mieux une complexité sous-quadratique en $\tilde O(p^{1.79})$.
	X. Caruso, J. Le Borgne A new faster algorithm for factoring skew polynomials over finite fields J. Symbolic Comput. 79 (2017), 411–443 Dans cet article, nous étudions l'arithmétique des anneaux de polynômes tordus sur les corps fini, en ne concentrant principalement sur les aspects algorithmiques. Nous décrivons différents algorithmes pour la multiplication rapide, la division euclidienne et le calcul de pgcd. En utilisant la théorie des algèbres d'Azumaya, nous décrivons certains quotients d'anneaux de polynômes tordus. Enfin, et il s'agit là de notre résultat principal, nous nous basons sur la description suscitée pour concevoir un algorithme rapide de factorisation des polynômes tordus sur les corps finis.